Hocbai.edu.vn mời bạn đọc cùng tham khảo bài giải đề kiểm tra Toán nâng cao lớp 9 phần Hình Học – Ôn tập Chương 2: Đường tròn. Ngoài phần nội dung đề bài và lời giải đề kiểm tra Toán nâng cao, chúng tôi còn tổng hợp giới thiệu một số bài tập căn bản kèm theo hướng dẫn giải giải chi tiết với mong muốn có thể giúp bạn tự rèn luyên và củng cố chắc phần kiến thức Toán học lớp 9 về Đường tròn (Chương 2 – Phần Hình học).
Nội dung chi tiết hướng dẫn giải bài tập kiểm tra Toán nâng cao và căn bản lớp 9 phần Hình Học, Bài Ôn tập Chương 2: Đường tròn được chúng tôi giới thiệu cụ thể như sau:
I-HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN NÂNG CAO LỚP 9 – PHẦN HÌNH HỌC – BÀI: ÔN TẬP CHƯƠNG 2:
ĐỀ SỐ 1
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax và By và một tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến Ax và By tại C và D.
a). Chứng minh : AC + BD = CD và AC.BD không đổi.
b). Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc vởi AB.
c). Cho Tính MA, MB và bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔBMD.
Giải
| a). Ta có CM = CA, DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà CD = CM + MD => CD = AC + BD Lại có OC và OD lần lượt là hai phân giác của góc AÔM và góc BÔM kề bù => góc CÔD = 90°.Trong tam giác vuông COD có OM là đường cao nên ta có:CM.DM = OM2 = R2 (không đổi) => AC.BD = R2. |
b). Gọi I là tâm của đường tròn đường kính CD, ta có OI là đường trung bình của hình thang vuông ΔCDB => OI // AC mà AC ┴ AB.
Do đó IO ┴ AB và chứng tỏ đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
c) Ta có: OA = OM (= R), CA = CM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Do đó OC là đường trung trực của đoạn AM.
Gọi H là giao điểm của OC và AM.
Xét tam giác vuông CAO có đường cao AH, ta có:
ĐỂ SỐ 2
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R. Về tiếp tuyến AB với (O). Gọi BH là đường cao của AABO. BH cắt (O) tại C.
a). Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
b). Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh KA = KO.
c). Đoạn OA cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh KI là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tính IK theo R.
d). AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai Đ. Chứng minh ΔAIC và ΔACD đồng dạng rồi suy ra tích AI.AD không đổi.
Giải
a). Ta có: OB = OC (= R) nên ABOC cân tại O dó đường cao OH đồng thời là đường phân giác hay góc Ô1 = Ô2.
| Xét ΔOCA và ΔOBA CÓ: OA cạnh chungÔ1 = Ô2 (cmt)OC = OB (= R)Vậy ΔOCA = ΔOBA (c.g.c)=> Chứng tỏ AC là tiếp tuyến của (O). |
b). Ta có: KO ┴ OB, AB ┴ OB (gt) => KO // AB
c). ΔAKO cân (cmt) có KI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao hay KI ┴ AO. Chứng tỏ KI là tiếp tuyến của (O).
ΔABO vuông tại B có OA = 2R, OB = R (gt) nên là nửa tam giác đều => Â1 = 30°
ĐỀ SỐ 3
Câu 1. Cho đường tròn đường kính AB. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại điểm I bất kì trên AB. Nôi I với trung điểm M của AD. Chứng minh MI vuông góc với BC.
Câu 2. Cho đường tròn (0) đường kính ÁB. Điểm c nằm giữa A và o. Vẽ dường tròn (O’) có đường kính là CB.
a). Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào ?
b). Kẻ dây DE vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Chứng minh rằng tứ giác ADCE là hình thoi.
c). Gọi K là giao điểm của BD với đường tròn (0‘). Chứng minh rằng ba điểm E, c, K thẳng hàng.
d). Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Giải
| Câu 1. Ta có:CD Δ AB tại I => IC = ID (định lí đường kính dây cung)Lại có M là trung điểm của AD (gt) nên IM là đường trung bình của ΔACD => IM//AC (1)Mà góc AĈB = 90° (AB là đường kính) hay AC ┴ BC (2)Từ (1) và (2) ta có: MI ┴ BC. |
Câu 2.
a). Ta có: OO’ = OB – O’B (d = R – R’) chứng tỏ (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B.
b). Ta có DE ┴ AC tại trung điểm H => HD = HE (đ.lí đường kính dây cung)
Do đó tứ giác ADCE là hình thoi.
c). Ta có (AB là đường kính) hay AD ┴ BD mà EC // AD => EC ┴ BD (1)
Lại có (CB là đường kính) hay CK ┴ BD (2)
Từ (1) và (2) => EC và KC phải trùng nhau.
Vậy ba điểm E, C, K thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 4
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài BC của (O) và (O’) (B € (O), C € (O’)).
a). Chứng minh rằng đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng 00′ và đường tròn đường kính OO’ tiếp xúc với đường thẳng BC.
b). Tính BC theo R và R’.
c). Đường tròn (H; r) tiếp xúc với cả hai đường tròn (O), (O’) và tiếp xúc với BC tại M. Tính bán kính r theo R và R’
Giải
| a). Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến chung BC ta có IA = IB = IC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)Ta có O, A, O’ thẳng hàng nên IA ┴ OO’Chứng tỏ đường tròn tâm I đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO’Gọi K là trung điểm của OO’ ta có IK là đường trung bình của hình thang BOO’ C => IK // OB // O’C hay IK ┴ BC. |
Măt khác:
Do đó đường tròn tâm K đường kính OO’ tiếp xúc với BC tại I.
b). Ta có OI, O’I theo thứ tự là phân giác của các góc BIA và CIA nên OI ┴ O’I hay ΔOIO’ vuông tại I có đường cao IA.
IA2 = OA.O’A = R.R’ (định lí 2)
hay
ĐỀ SỐ 5
Cho đường tròn (0; R), lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm.
a). Chứng minh rằng AO là đường trung trực của đoạn BC. Tính AB theo R.
b). Gọi I là trung điểm của OB, K là giao điểm của đoạn OA với đường tròn (O). Tính diện tích áOIK theo R.
c). Đường thẳng AI cắt cung lớn BC tại M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại p và Q. Chứng minh MP = p – AQ (với p là nửa chu vi AAPQ).
d). Chứng minh diện tích ΔAPQ bằng nửa chu vi của ΔAPQ nhân với R.
Giải
| a). Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)OB = OC (= R)Do đó AO là đường trung trực của đoạn BCTa có AB ┴ OB (tính chất tiếp tuyến)=> ΔABO vuông tại B, theo định lí Pi-ta-go, ta có : |
- b) Ta có IK là đường trung bình của ΔAOB nên:
ĐỀ SỐ 6 . –
Cho đường tròn (O) đường kinh BC. Dây AD ┴ BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Gọi (I), (K) là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBE và HCF.
a). Xác định vị trí tương đối của các dường tròn (I) và (O); (K) và (O); (!) và (k).
b). Chứng minh : AE.AB = AF.AC.
c). Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chưng của đường tròn (D và (K).
d). Xác định vi trí điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Giải
| a). Ta có IO = OB – IB (d = R – R1)Chứng tỏ (I) và (O) tiếp xúc trong tại B.Chứng minh tương tự ta có (K) và (O) tiếp xúc trong tại C.IK = IH + HK (d = R1 + R2)Chứng tỏ (I) và (K) tiếp xúc ngoài tại H. |
b). ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao, ta có : AH2 = AE.AB Tương tự với tam giác vuông AHC ta có: AH2 = AF.AC
Do đó: AE.AB = AF.AC.
c). Các tam giác ABC, BEH, CFH vuông vì chắn nửa đường tròn có đường kính lần lượt là BC, BH, CH. Do đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật (có ba góc vuông) =>
Mặt khác ΔEIH cân nên
Tương tự ta chứng minh được EF ┴ KF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K).
d). Do AEHF là hình chữ nhật (cmt): => EF = AH nên EF có độ dài lớn nhất khi AH có độ dài lớn nhất: AH ≤ OA = R (không đổi).
Dấu “=” xảy ra khi H = O. Vậy khi H trùng với O thì AH có độ dài lớn nhất là R.
ĐỀ SỐ 7
Cho ΔABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Vẽ đường tròn (O’) qua A và tiếp xúc với BC tại C.
a). Chứng minh rằng (O) và (ơ) tiếp xúc nhau tại A.
b). Gọi I là trùng điểm của BC. Chứng minh rằng: góc OÎO’ = 90° và AI ┴ OO’
c). Tính các cạnh của ΔABC biết bán kính của hai đường tròn là R và R’
Giải
b). I là trung điểm của BC (gt) nên AI là trung tuyến của ΔABC vuông tại A => IA = IB = IC.
ĐỀ SỐ 8
Cho đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường thẳng qua A hợp với OO’ một góc 30° cắt (O) tại B và (O’) tại C.
a). Chứng minh: AOB = AO’C và OB // O’C.
b). Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O’) tại C song song với nhau.
c). Tiếp tuyến của (O) tại C cắt OO’ tại D. Tính CD và O’D.
d). DC cắt BO tại E. Tính SABB.
Giải
ĐỀ SỐ 9
Cho đường tròn (O; E) đường kính AB. Gọi S là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn tâm S đi qua A.
a). Chứng minh (O) và (S) tiếp xúc tại A.
b). Một đường thẳng đi qua A cắt S tại M và cắt (O) tại N (M, N khác A). Chứng mỉnh: SM // ON.
c). Chứng minh: OM // BN.
d). Gọi I là trung điểm cua ON, đường thẳng AI cắt BN tại K. Chứng minh: BK = 2NK.
Giải
| a). Ta có: OS = OA – SA (d = R – R’) Vậy (O) và (S) tiếp xúc tại A.b). ΔASM cân (SA = SM = R’) |
c). Đễ thấy (chắn nửa đường tròn) => OM // BN (┴ AN).
d). Kẻ OE // IK ta có IK là đường trung bình của ΔONE => K là trung điểm của NE hay KN = KE.
Mặt khác trong ΔAKB ta có OE là đường trung bình nên E là trung điểm của KB hay EK = EB. Vậy BK = 2NK.
Cách khác: Gọi H là giao điểm của MO và AK, ta có ΔOIH = ΔNIK (g.c.g) => NK = OH. Có O là trung điểm AB, OH // BN (cmt) OH là đường trung bình cúa ΔAKB
=> OH = hay 2OH = BK mà OH = NK => 2NK = BK.
ĐỀ SỐ 10
Câu 1. Cho đường tròn (O) nội tiếp ΔABC. Gọi M, N, S lần lượt là các tiếp điểm thuộc các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng:
AB + AC – BC = 2AM.
Câu 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một cát tuyến kẻ qua A cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D. Gọi H, K Ịần lượt là trung điểm của AC và AD và I là trung điểm của HK.
a). Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với CD tại I đi qua một điểm cố định P khi cát tuyến CAD thay đổi.
b). Kẻ đường thẳng vuông góc với PA tại A, đường thẳng này cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F. Chứng minh: AE = AF.
c). Gọi AR, AQ lần lượt là đường kính của (O) và (O’). Chứng minh R, B, Q thắng hàng.
Giải
Câu 1. Ta có:
| AB + AC – BC = AM + MB + AS + SC – BN – NCMà AM = AS, MB = NB, CS = NC (tính châ’t tiếp tuyến cắt nhau)=> AB + AC – BC = AM + AS = 2AM. | |
Câu 2.
| a). Ta có H, K lần lượt là trung điểm của AC và AD (gt) nên OH ┴ AC và O’K ┴ AD (định lí đường kính dây cung). Do đó tứ giác OHKO’ là hình thang vuông. |
Gọi p là giao điểm cua đường thảng qua I vuông góc với CD, ta có IP là đường trung bình của hình thang OHKO’ P là trung điểm của OO’ nên p cố định.
b). Kẻ OM, O N lần lượt vuông góc với EF ta có OMNO’ là hình thang vuông có PA là đường trung bình nên A là trung điểm của MN hay AM = AN => AE = AF.
c). Dễ thấy (chắn các nửa đường tròn)
=> => Ba điểm R, B, Q thẳng hàng.
II-ĐỀ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP 9
Câu 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M. thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D và cắt đường thẳng AB tại E. Gọi N là giao điểm của BC và AD.
a). Chứng minh: và suy ra MN // AC và BD.
b). Chứng minh: góc CÔD = 90°.
c). Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
a) Ax, By là các tiếp tuyến nên Ax // By (┴ AB)
b). OC, OD là phân giác của hai góc kề bù AÔM và MÔB.
c). OC, OD lần lượt là phân giác trong và ngoài của ΔOME nên
Câu 2. Cho đường tròn (O; R) dây cung AB với góc AÔB = 120°. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại C.
a). Tính diện tích ΔABC.
b). Lấy M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến tại M cắt AC tại D và BC tại E. Chứng minh rằng: AD + BE = DE.
c). Trên các đoạn thẳng BC, CA và AB lần lượt lấy các điểm I, J, K sao cho K không trùng với A và B và
Chứng minh:
Câu 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Một dây CD quay quanh trưng điềm H của OB.
a). Chứng minh trung điểm I của CD thuộc đường tròn đường kính OH.
b). Vẽ AA’ ┴ CD, BI cắt AA’ tại E. Chứng minh tứ giác EDBC là hình bình hành.
c). Chứng tỏ E di động trên một đường cô’ định.
Hướng dẫn giải:
a). Góc OÎH = 90° nên I thuộc đường tròn đường kính OH.
b). O là trung điểm của AB, OI // AE (┴ CD)
=> OI là đường trung bình của ΔABE => I là trung điểm BE.
Tứ giác EDBC là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Câu 4. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy cố định ngoài đường tròn đó. Từ M trên xy, kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ tới (O). Từ O kẻ OH vuông góc với xy. Dây cung PQ cắt OH ở I và OM ở K. Chứng minh
a). OI.OH = OK.OM = R2.
b) Khi M di chuyến trên xy thì các dây cung PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có OM ┴ Qp tại K. Trong tam giác vuông OQM có QK là đường cao : OK = OQ2 = R2 (1)
Lại có ΔHMO ~ ΔKIO => OI.OH = OK.OM (2)
Từ (1) và (2) => OK.OM = OI.OH = R2.
Câu 5. Cho đường tròn (O; R), dây AB = R√3 cố định. Gọi M íà trung điểm cùa AB và C là điếm chuyến động trên cung nhỏ AB.
a). Chứng minh M thuộc đường tròn cô’ định.
b). Tính sô’ đo góc AÔB.
c). Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh I thuộc đường tròn cố định.
d). Gọi H là hình chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng IH đi qua điếm cố định và H thuộc đường tròn cố định.
Hướng dẫn giải:
a). nên M thuộc đường tròn đường kính AO cố định.
b). Góc AÔB = 120°.
c). Tương tự câu a), I thuộc đường tròn đường kính AO.
d). , K, B cố định H thuộc đường tròn đường kính KB.
Trên đây là nội dung bài giải đề kiểm tra toán nâng cao lớp 9 cùng một số hướng dẫn giải bài tập toán căn bản theo chương trình đổi mới giáo dụng hiện nay. Mong rằng, bài chia sẽ của Hocbai.edu.vn có thể giúp ích cho mục tiêu học tập tốt phân môn Toán Học lớp 9 của bạn nhé! Trân trọng!
